"É necessário equacionar o problema . . ."

"A vida está cheia de incógnitas... "

São expressões do nosso dia a dia ... mas qual o seu verdadeiro significado ?  

 

Uma equação é uma igualdade que só é verificada para certos valores atribuidos à variável.  Por exemplo quando se escreve 2a+6=12 , trata-se duma condição que só se torna verdadeira quando a=3 , para todos os outros valores atribuidos à incógnita a, é falsa.

Tudo se passa como a figura sugere: o objecto denominado 2a tem de pesar 6 unidades para estar em equilíbrio, logo a =3  . De facto para haver equilíbrio os dois pratos terão de ter a mesma massa.

       

Podemos ver que toda equação tem:

 

1- O grau duma equação é dado pelo maior expoente que afecta a incógnita (valor a determinar).

Por exemplo: a equação x3-3x+2=3 é do 3º grau, e 3y--6=y é do 1º grau.

1.1- Qual o grau (em v) da equação   2v-4v3+v2-v4 ?

1.2- Escreve uma equação completa do 3º grau em y

2- A resolução de uma equação tem por base dois princípios de equivalência:

a) adicionando a ambos os membros duma equação a mesma quantidade obtém-se uma equação equivalente :

x2- 3x =  4 « x2- 3x -4=4 -4 « x2-3x-4= 0 (com o uso deste princípio podemos mudar de um membro para o outro qualquer termo ficando este então com o sinal contrário)

Vê na prática o que acontece : 3x2- 4 = 2x+2 « 3x2- 2x = 2+4

    b)   Multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma equação por uma quantidade diferente de zero otém-se uma equação equivalente : (a fig. da esquerda procura traduzir a situação)

8x+6=2x+14 embora não seja o processo normal poderiamos dividir ambos os membros por 2 :

     4x+3=x+7 4x-x = 7-3  ↔  3x = 4  logo x = 4/3

 

Vamos agora ver este exemplo:

No fundo para desembaraçar de denominadores multiplicamos ambos os membros por 6 (claro que em seguida simplificaram-se as fracções).. Observa:

Vamos então resolver uma equação simples do 1º grau:

 

No primeiro passo utilizamos o 2º principio : mutiplicando ambos os membros por 4 (m.m.c), em seguida mudamos para o primeiro membro os termos que continham a incógnita x, usando o 1º princípio. Finalmente voltamos a utilizar o 2º principio dividindo ambos os membros por -9 para depois simplificarmos a fracção.

3-

3.1 Procura agora pôr em prática os teus conhecimentos resolvendo as equações:

:

Podes agora praticar a resolução de várias equações simples


 

4- Sistemas

Imagina uma equação como esta:  2x+ 3y=5

É fácil dar conta que ela tem como solução x=1 e y=1. Mas existem mais soluções para ela, por exemplo: x= -2 e y=3 ...

Tenta "descobrir" outras soluções. De facto existirá um conjunto infinito de soluções "C" desta equação.

  Vamos agora analisar outra equação do mesmo tipo (1º grau com duas incógnitas):   4x-2y=2  ela admite a solução x=1 e y=1, mas também terá um conjunto infinito de soluções "D".

Em "E" (intersecção dos dois conjuntos C e D) estarão as soluções comuns às duas equações.No nosso exemplo o par (x=1 e y=1). Repara na figura.

Assim resolver um sistema de 2 equações é encontrar as soluções comuns às suas equaçóes.


 

4.1-Métodos práticos de resolução:

Método de substituição

A melhor forma é acompanhar com comentários a resolução de um sistema. Vamos aproveitar as equações já referidas:

Tiramos o valor de x, por exemplo na 1ª equação Em

 seguida vamos substitui x, na segunda equação, pela expressão obtida na 1ª

    daqui podemos desde já calcular o valor de y resolvendo a 2ª equação

                              em ordem a y:

Substituindo na equação de cima o valor obtido para y ficará:  

conclusão: x=1 e y=1

 

 4.1.1-Utiliza este método para resolver o sistema  

4.1.2- E ainda para resolver este (um pouco mais trabalhoso)

Método de redução

 

Na essência o método consiste em obter nas duas equações coeficientes da mesma incógnita que sejam simétricos. Logo que isto acontece, ao somar as duas equações essa incógnita acaba por desaparecer. (daí o seu nome pois " reduzimos" o número de incógnitas)

Acompanha:

Seja o sistema      vamos, por exemplo multiplicar ambos os membros da segunda equação por -2 fica então:   logo os coeficientes de x já estão como o desejado (com valores simétricos).

Adicionando agora as duas equações fica:    repetindo o procedimento para a variável y. Então, mutiplicando a 1ª equação por 2 e segunda por 3, teremos:

(Atenção estes valores foram obtidos assim : mmc(3,2)=6 então 6:3 (coef.)=2 e 6:2(coef.)=3)

 

Agora adicionando ordenadamente vem:    

Método gráfico (onde as soluções são menos rigorosas)

Muitas vezes, na resolução de um sistema, usamos o método gráfico, de facto cada equação do 1º grau é representada por uma recta (ver funções). As coordenadas do ponto de intersecção das duas rectas constituem a solução do sistema.

 

a) Qual é a solução do sistema da figura no lado direito ? verifica numericamente a solução obtida.

 

b) Resolve graficamente o sistema   

 

c)  Resolve graficamente os sistema abaixo e para isso podes utilizar um dos programas derive.gif (1176 bytes)  ou o 

(Repara na nomenclatura utilizada!)

Forma prática de resolução de um sistema

Na verdade, no dia a dia, é muito habitual usar um método misto : isto é iniciamos a resolução com o método de redução e acabamos por substituição. Vamos exemplificar:

4.2.1- Tens agora dois sistemas para resolver, usa qualquer dos métodos numéricos aprendidos:       

4.2.2- Tenta resolver, por qualquer método, o sistema    

Que aconteceu ? conclui...

4.2.3- Para praticar a resolução de sistemas de 2 equações utiliza     

4.3- Os métodos que acabaste de estudar serão úteis na resolução de sistemas com mais de duas equações.

 

4.3.1- Se quizeres aprofundar um pouco os teus conhecimentos podes resolver sistemas como o que se encontra ao lado. Trata-se de um sistema com 3 equações e três incógnitas.

                  Podes usar na sua resolução qualquer dos mesmos métodos já vistos.

Como curiosidade podes usar uma forma rápida de obter soluções dum sistema de 3 equações com 3 incógnitas .

Os conhecimentos aprendidos aqui podem ser utilizados na resolução das desigualdades. Será conveniente que vejas o módulo 

È altura de fazeres o