FUNÇÃO LOGARÍTMICA

John NEPER  (1550 - 1617)

 

A invenção dos logaritmos ( palavra de origem grega:(logos) = tratado, arithmos (ariqmos) = números), deve-se ao matemático escocês John Napier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessou fundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometría. Em 1614, e ao fim de 20 anos de trabalho, publicou a  obra Logarithmorum canonis descriptio, onde explica como se utilizam os logaritmos, mas não relata o processo como chegou a eles

Um ano depois, em 1615, o  matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), visitou  Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. A Napier agradou-lhe a ideia e resolveram elaborar as respectivas tábuas dos logaritmos decimais. Com  a morte de Napier é Brigs que conclui o trabalho e em  1618, publica Logarithmorum Chiliaes prima, primeiro tratado sobre os logaritmos de base 10 e faz o calculo para os números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000

 
 
    

Já conhecemos as operações :adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Vamos agora introduzir duas novas operações: a logaritmização e a exponenciação. 

Os logaritmos vêm facilitar a vida na medida que vão permitir simplificar cálculos mais complicados. E porque ? por que com eles vamos baixar o grau de dificuldade das operações transformando:

multiplicações em adições
divisões em subtracções 
potenciação em multiplicação
radiciação em divisão

Definição de logaritmo :

Chama-se logaritmo de x na base a a um número b tal que se elevarmos a ao expoente b obtemos x:.       Isto é            :

 

 

Exemplo:

 

b será portanto o logaritmo de x na base a o que significa que b é o expoente a que deve ser elevado a para obter x. 

Exemplos:

1- log10 1000=3  pois  103 =1000

        2- log3 81 = 4  já que  34 = 81

Uma nota:

Vamos tentar calcular manualmente o log210 .  Como  23<10<24 o valor do log será um número entre 23 e quatro logo do tipo 3,...  Assim já temos a chamada característica do logaritmo (isto é a parte inteira) podemos procurar uma primeira casa décimal , de facto 23.4=10.55 e 23.3=9.84 concluimos que a parte decimal inicia-se com 3 e log210=3,3.... mantissa ( do latim excesso). 

Então o logaritmo de um número será da formma  c,m onde c e  0<m<1 

 

A base  a é sempre um número real e positivo diferente de 1 . Qual a razão ?

Calculadora de logaritmos

Um scrip simples para calcular logaritmos

Base do logaritmo:
Número:
Resultado:


 

       

Do exposto verifica-se que a função logarítimica é uma aplicação bijectiva do conjunto R+ , sobre o conjunto dos reais :

 

Veremos mais tarde que a inversa da função logarítmica é a denominada função exponencial.

Chama-se função logaritmica à função real de variável real :

A função logaritmica é uma aplicação bijectiva de R+ em R :

Observações:


a>1

0<a<1

 

A base mais utilizada é a base 10 ou seja os logaritmos decimais é por essa razão que muitas vezes, neste caso, se omite a base

 

Vejamos um  exemplo de como os logaritmos podem facilitar os cálculos usando as regras anteriormente dadas no quadro

 :

 

Estes logaritmos que tem por base o número e (base de Neeper) e escreve-se muitas vezes .

Exemplo : Determina log3 7 com aprox. de 6 decimais

De antemão sabemos que a resposta será um número entre 1 e 2 pois  31 = 3  e 32 = 9 , e o 7 está 

entre  3 e 9. Vamos mudar a base dos logaritmos para 10, log3 pode se escrever como  .  ou mais simplesmente  .   Utilizando a calculadora teremos::
Claro está que se fossemos verificar a validade do resultado faríamos.  

     Que é um resultado aproximado como desejavamos

 

É o  número que corresponde a umlogaritmo dado. Consiste no problema inverso do cálculo do logaritmo de um número.

ou o que é omesmo: consiste em elevar a base ao número obtido no logaritmo :

ver exponencial

Designa-se por cologaritmo de um número x ao logaritmo do seu recíproco ou inverso :

 justifica a segunda parte desta igualdade

Trata-dse de equações que à incógnita foi aplicada a operação logaritmo.

É fácil concluir que a igualdade entre os  logaritmos de duas expressões implica a igualdada de ambas. (este é o principio em que se fundamenta a resolução deste tipo de equações ou o que se poderá dizer de outra maneira: aplicando o antilogaritmo) 

Exemplo:

log x = log (x3+5) + 10x = x3 +5 + log 10 x = x3+5 +1

Como é fácil depreender trata-se de um sistema de equações em que a as) incógnita(s) estão sujeitas à operação logaritmo. A sua resolução faz-se como normalmente outros sistemas só que tendo em atenção as propriedades dos logaritmos para efectuar as transformações necessárias. Exemplo :

 

Se a > 1
Os números menores que  1 têm logaritmo negativo
Os números maiores que 1 têm logaritmo positivo

Se 0 < a < 1
Os números menores que 1 têm  logaritmo positivo
Os números maiores que 1 têm logaritmo negativo

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